王琦：关于 k-Hessian 方程解的局部性质

【学术期刊】《中国科学:数学》，2019年第2期。

【作者简介】王琦，中南财经政法大学统计与数学学院讲师, 武汉大学数学与统计学院基础数学系博士, 主要研究方向是: 完全非线性椭圆方程, Hessian方程。

【主要观点】本文介绍了k-Hessian算子关于(k-1)-凸可允许解的椭圆性和退化的k-Hessian方程严格凸的局部解。k-Hessian方程问题是解的光滑性和凸性的研究有其几何问题的来源和需求。该问题起源之一的Christoffel-Minkowski问题可被转化为：如何在球面上找寻合适的非齐次项使得Hessian方程具备常规意义上的凸解。事实上，如果这里的k=n，那么该问题就是著名的Minkowski问题。从几何的角度出发，如果方程的非齐次项光滑时，一般要求对应的曲面是光滑的,即要求该方程具备光滑解。关于Monge-Ampère方程解的水平集的凸性研究已经广泛展开，但对于一般的k,这方面的研究却较为少见。如kHessian方程某些解的具有凸性，那么也可以在水平集框架下研究k-Hessian方程解的性质。此外,关于 k = 2且 n = 3时 Hessian方程的特征值 问题,其解的对数凸性已经有很好的结果。 以上凸性结果基于两个事实:一是方程是椭圆的；二是经典 (至少 C 2 )解已经存在。但是,与很多重要的几何问题相关联的 k-Hessian方程均是退化椭圆的。相比一致椭圆型，退化的 k-Hessian方程 Dirichlet问题的解通常仅有 C 1,1正则性，所以转而研究局部解的凸性。